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======================================================================== ━┓→ Ｎ┃→ 仮想力線電磁気学 ━┛→ ======================================================================== ------------------------------------------------------------------------ ●第４３回 第３章・力線の理論（その11） ------------------------------------------------------------------------ 当メールマガジンを御購読いただき、誠にありがとうございます。 今回は、数学に関する話をします。 具体的に言うと、ベクトルの外積の話です。 力線の理論における電磁誘導や磁電誘導の式に出てくるので、この機会に、簡単 ながら説明しておきたいと思います。 今回も、ホームページに図を掲載いたしました。 メルマガ中には、該当するホームページのＵＲＬを記してあります。 なお、一部、数式の記述で絵文字を用いておりますので、等幅フォントで御覧下 さい。 **************************************** 32．外積について **************************************** ベクトルには二種類のかけ算があります。 一つは内積、もう一つは外積です。 内積については、御存知の方も多いかと思います。 今、二つのベクトル、 {a} = ( ax, ay, az ) {b} = ( bx, by, bz ) があったとすると、これらの内積は、 {a}・{b} = ax・bx + ay・by + az・bz となります。 あるいは、ベクトルのなす角をθ(rad)とすると、 {a}・{b} = |{a}|・|{b}|・cosθ となります。（ちなみに、||はベクトルの大きさを表します。） いずれにせよ、演算結果は同じで、スカラーとなります。 このため、内積は、スカラー積とも呼ばれます。 これに対し、外積の演算結果はベクトルとなるため、ベクトル積とも呼ばれてい ます。 一般に、外積は、『×』を用いて、 {c} = {a}×{b} のように表されます。 この演算（外積）によって求まるベクトル{c}とは、次のようなベクトルです。 下記のホームページの図を見ながら、以下の説明をお読み下さい。 → http://www.f8.dion.ne.jp/~tarkun/mm/bk2/43az.htm まず、二つのベクトル（ {a}と{b} ）を二辺とする平行四辺形を考えます。 そして、この平行四辺形の面積を求めます。 ベクトル{c}の大きさは、この面積に等しく、 |{c}| = |{a}|・|{b}|・|sinθ| となります。 次に、ベクトル{c}の向きですが、これは、ベクトル{a}からベクトル{b}の方に 右ねじを回したときに、右ねじが進む向きとなります。 お気付きのように、ベクトル{c}の向きは、ベクトル{a}とベクトル{b}の両方に 対して垂直になります。（力線の理論における電磁誘導や磁電誘導の考え方の記 述にちょうどいいことがわかるでしょう。） 注意しなければならないのは、交換の法則が成り立たないことで、 {a}×{b} = -{b}×{a} という具合に、符号、すなわち、求まるベクトルの向きが逆になります。 以上が、外積という演算の定義と特徴です。 さて、外積の計算を、成分の形で記述すると、以下のようになります。 {c} = ( cx, cy, cz ) とすると、 cx = ay・bz - az・by cy = az・bx - ax・bz cz = ax・by - ay・bx となります。 また、ｘ、ｙ、ｚ方向の単位ベクトルを{i}、{j}、{k}とすると、 {a}×{b} = ( ay・bz - az・by )・{i} + ( az・bx - ax・bz )・{j} + ( ax・by - ay・bx )・{k} あるいは、 │{i} {j} {k} │ {a}×{b} = │ ax ay az │ │ bx by bz │ とも記述されます。 ちなみに、力線の理論における電磁誘導や磁電誘導の式、 {E} = -{vb}×{B} （１・１） {H} = {vd}×{D} （１・２） を成分で示すと、下記のようになります。 Ex = -vby・Bz + vbz・By （１・１・ａ） Ey = -vbz・Bx + vbx・Bz （１・１・ｂ） Ez = -vbx・By + vby・Bx （１・１・ｃ） Hx = vdy・Dz - vdz・Dy （１・２・ａ） Hy = vdz・Dx - vdx・Dz （１・２・ｂ） Hz = vdx・Dy - vdy・Dx （１・２・ｃ） 以上で、外積の計算はおわかりいただけたと思います。 次回は、平面波の電磁波を題材にして、力線の理論の式から、マックスウェル方 程式を導いてみようと思います。 ======================================================================== 発行者 ： ｔａｒｋｕｎ（たーくん） mailto:tarkun2@yahoo.co.jp 配信 ： MailuX http://www.mailux.com/ バックナンバーの閲覧、購読の解除、配信先の変更は、下記のＨＰへ。 http://www.f8.dion.ne.jp/~tarkun/mm/mailux.htm 購読の解除や、配信先の変更は、御自分でお願いします。 ======================================================================== |