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======================================================================== ━┓→ Ｎ┃→ 仮想力線電磁気学 ━┛→ ======================================================================== ------------------------------------------------------------------------ ●第３９回 第３章・力線の理論（その７） ------------------------------------------------------------------------ 当メールマガジンを御購読いただき、誠にありがとうございます。 前回に引き続き、力線の理論からマックスウェル方程式を導く話をします。 今回から『力線の連続の式』について説明します。 図（絵文字）があるので、等幅フォントで御覧下さい。 **************************************** 21．入ってくる数 **************************************** 『力線の連続の式』を導くためには、まず、単位時間あたりに領域に入ってくる 力線の本数を求めなければなりません。 そこで、今回は、その導出法を、よりわかりやすいたとえの問題を用いて説明し ようと思います。 まず、次のような問題を考えてみましょう。 下図のように片側（左側）が解放された倉庫を考えます。 ━━┓ ┃ ━━┛ そして、左側から人が一列に等間隔に並んで、倉庫の中に入ってくる状況を考え ます。 ｖ → ━━┓ ・・・・・・ ┃ ━━┛ ここで、『・』は人を表すとします。 また、全ての人は、左側に向かって、同じ速度ｖで移動しているとします。 そこで、問題ですが、単位時間あたりに、この倉庫に入ってくる人の数は、いく らでしょうか？ それを考えるために、今、人と同じ速度で移動するロープを考えてみましょう。 ｖ → ━━┓ ────── ┃ ━━┛ ロープは速度ｖで移動しています。 したがって、単位時間あたりに倉庫の中に入ってくるロープの長さは、 ｖ・１ = ｖ となりますね。 そこで、先ほどの人の問題に戻って、単位長さあたりにどれだけの人がいるか？ ということを考えます。 人と人との間隔をＬとすれば、単位長さあたりに存在する人の数ｎは、 ｎ = １ / Ｌ となります。 一方、上で述べたロープの問題で、単位時間あたりに倉庫に入ってくるロープの 長さはｖだったわけですから、単位時間あたりに倉庫に入ってくる人の数は、 （単位長さあたりの人数）×（単位時間あたりに入ってくる長さ）＝ ｎ・ｖ となります。 **************************************** 22．複数列の場合 **************************************** さて、今度は、人が一列ではなく、下図のように複数列の問題を考えてみましょ う。 ｖ → ∴∵∴∵∴∵ ∴∵∴∵∴∵━━┓ ∴∵∴∵∴∵ ┃ ∴∵∴∵∴∵━━┛ ∴∵∴∵∴∵ 図を見ればおわかりのように、この場合は、倉庫に入ってくる人たちと、入って こない人たちがいます。 倉庫の左側の（入り）口の幅をＨとすれば、倉庫に入ってくる人たちは、この幅 のエリアの人たちであり、それ以外のエリアの人たちは、倉庫には入ってきませ ん。 そこで、単位面積あたりの人の数を（改めて）ｎとし、単位時間あたりに倉庫に 入ってくる人の数を求めてみましょう。 前の一列の問題の時は『入ってくる長さ』を考えましたが、複数列のこの問題で は、『入ってくる面積』を考えます。（『ロープ』の代わりに、『幅Ｈの絨毯』 といったものを考えるとよいでしょう。） 単位時間あたりに入ってくる長さ（横方向）は、先の問題でも示したように、ｖ です。 一方、倉庫の（入り）口の幅は、Ｈです。 よって、単位時間あたりに入ってくる面積は、 （単位時間あたりに入ってくる長さ）×（倉庫の（入り）口の幅）＝ ｖ・Ｈ となります。 さて、単位面積あたりの人数はｎですから、単位時間あたりに入ってくる人の数 は、 （単位面積あたりの人の数）×（単位時間あたりに入ってくる面積） ＝ ｎ・ｖ・Ｈ となります。 **************************************** 23．出入り口が二つある場合 **************************************** さて、それでは、下図のように、倉庫の出入り口が左右に一つずつ（合計二つ） ある問題を考えましょう。 v1 v2 → → ∴∵∴∵∴∵∴∵∴∵∴∵ ∴∵∴∵∴∵━━━∵∴∵ ∴∵∴∵∴∵ ？ ∵∴∵ ∴∵∴∵∴∵━━━∵∴∵ ∴∵∴∵∴∵∴∵∴∵∴∵ ここで、左側の出入り口の場所における人の速度をv1、単位面積あたりの人の数 をn1とします。 また、右側の出入り口の場所における人の速度をv2、単位面積あたりの人の数を n2とします。 また、出入り口の幅は、左側も右側も同じＨとします。 さて、単位時間あたりに、左側の出入り口から入ってくる人の数は、 n1・v1・Ｈ であることは、先の問題からおわかりになると思います。 一方、単位時間あたりに、右側の出入り口から入ってくる人の数は、 −n2・v2・Ｈ となります。 符号が負になったのは、図を見ればおわかりのように、人が右側へ進めば、倉庫 から出ていくことになるからです。 前回述べたことからもわかるように、『ｎ人の人が出ていく』ということは、『 −ｎ人の人が入ってくる』ということなのです。 これらのことを考えれば、右側の出入り口で符号が負になるのも、理解できるで しょう。 さて、以上のことから、単位時間あたりに（左右の出入り口から）倉庫に入って くる人の総数は、 n1・v1・Ｈ − n2・v2・Ｈ となるわけです。 **************************************** 24．単位時間あたりの増加量 **************************************** さて、倉庫内の単位時間あたりの人の数の増加量は、単位時間あたりに倉庫に入 ってくる人の数に等しいことは、前回述べた話からも御理解いただけると思いま す。 そこで、倉庫内の人の数をＮとすると、単位時間あたりの人の数の増加量は、 dＮ / dｔ と表せますから、これまでの話から、 dＮ / dｔ ＝ n1・v1・Ｈ − n2・v2・Ｈ となります。 さて、倉庫内の単位面積あたりの人数を（改めて）ｎとしましょう。 そして、倉庫の横幅、すなわち、左側の出入り口から右の出入り口までの距離を Ｗとしましょう。 すると、 Ｎ ＝ ｎ・Ｈ・Ｗ となりますから、 d(ｎ・Ｈ・Ｗ) / dｔ ＝ n1・v1・Ｈ − n2・v2・Ｈ ∴ (dｎ / dｔ)・Ｈ・Ｗ ＝ n1・v1・Ｈ − n2・v2・Ｈ ∴ (dｎ / dｔ)・Ｗ ＝ n1・v1 − n2・v2 となります。 こうして求まった式を（３・１）式としましょう。 さて、『力線の連続の式』も、この（３・１）式と同じ考え方で求まります。 つまり、『倉庫』を『（ある微小）領域』に、『人』を『力線』に、それぞれ置 き換えて考えればよいのです。 というわけで、次回は、今回述べた『たとえ』の考え方をもとに、『力線の連続 の式』を実際に導いてみます。 ======================================================================== 発行者 ： ｔａｒｋｕｎ（たーくん） mailto:tarkun2@yahoo.co.jp 配信 ： MailuX http://www.mailux.com/ バックナンバーの閲覧、購読の解除、配信先の変更は、下記のＨＰへ。 http://www.f8.dion.ne.jp/~tarkun/mm/mailux.htm 購読の解除や、配信先の変更は、御自分でお願いします。 ======================================================================== |